Ймовірність — CMS Math Olympiad

1

Що таке ймовірність?

Ймовірність — це число від 0 до 1, яке показує, наскільки ймовірно щось станеться.

Формула

\(P = \dfrac{\text{кількість сприятливих результатів}}{\text{загальна кількість результатів}}\)

Що означають крайні значення

\(P = 0\) — подія неможлива (випаде число 7 на звичайному кубику).
\(P = 1\) — подія обов'язково станеться (випаде число від 1 до 6).
\(P = \dfrac{1}{2}\) — однаково ймовірно, що станеться або ні.

Приклад — монета

Підкидаємо монету. Яка ймовірність випадання «герба»?

Всього результатів: 2 (герб або решка).

Сприятливих: 1 (герб).

\(P = \dfrac{1}{2}\).

Спробуй

В мішку 3 червоні і 7 синіх кульок. Ймовірність витягти червону:

2

Кидання кубика

Звичайний кубик має 6 граней з числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кожне число випадає з однаковою ймовірністю.

Типові питання

Ймовірність випадання парного числа: числа 2, 4, 6 → \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).

Ймовірність випадання числа > 4: числа 5, 6 → \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).

Ймовірність випадання простого числа: числа 2, 3, 5 → \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).

Спробуй

Кидаємо кубик. Ймовірність, що випаде число, яке ділиться на 3:

3

Кульки в мішку

Це найпопулярніший тип задач на CMS. Зазвичай є мішок з кульками різних кольорів — потрібно знайти ймовірність витягти кульку потрібного кольору.

Приклад

В мішку 3 червоні і 5 синіх кульок. Витягаємо одну навмання.

Ймовірність червоної: \(\dfrac{3}{3+5} = \dfrac{3}{8}\).

Ймовірність синьої: \(\dfrac{5}{8}\).

Обережно: «без повернення»

Якщо витягнули кульку і не повернули назад, загальна кількість зменшується!

Було 3 червоні + 5 синіх = 8. Витягли одну червону → залишилось 2 червоні + 5 синіх = 7.
Ймовірність другої червоної: \(\dfrac{2}{7}\), а не \(\dfrac{2}{8}\)!

Спробуй

В мішку 4 зелені, 3 жовті і 5 білих кульок. Ймовірність витягти жовту:

Спробуй

В мішку 6 червоних і 4 білі кульки. Витягли одну червону і не повернули. Ймовірність, що друга також червона:

4

Ймовірність «НЕ»

Протилежна подія

\(P(\text{НЕ } A) = 1 - P(A)\)

Ймовірність того, що подія НЕ відбудеться = 1 мінус ймовірність, що відбудеться.

Це дуже потужний трюк! Інколи простіше порахувати те, що ми не хочемо, і відняти від 1.

Приклад

Кидаємо кубик. Яка ймовірність, що випаде НЕ шістка?

\(P(\text{шістка}) = \dfrac{1}{6}\).

\(P(\text{не шістка}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\).

Спробуй

В мішку 2 червоні і 8 синіх кульок. Ймовірність витягти НЕ червону:

5

Дві події: «І» та «АБО»

«І» — обидва разом

Кидаємо монету двічі. Яка ймовірність, що обидва рази випаде герб?

Перший кидок: \(P = \dfrac{1}{2}\). Другий: \(P = \dfrac{1}{2}\).
Разом: \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\).

Правило: якщо події незалежні, множимо їхні ймовірності.

«АБО» — хоча б одне

Кидаємо кубик. Ймовірність, що випаде 2 або 5?

Це два різні результати, які не перетинаються:
\(P = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).

Правило: якщо події не можуть відбутись одночасно, додаємо ймовірності.

Як запам'ятати

«І» → множимо (потрібно, щоб обидва спрацювали — це рідше).
«АБО» → додаємо (достатньо хоча б одного — це частіше).

Спробуй

Кидаємо два кубики. Ймовірність, що на обох випаде шістка:

Спробуй

Кидаємо кубик. Ймовірність, що випаде 1, 3 або 5 (непарне число):

6

Олімпіадна практика

Задача 1 · Легка

В коробці 5 червоних, 3 зелених і 2 жовтих олівці. Навмання витягають один. Ймовірність, що він зелений:

Задача 2 · Легка

Навмання обираємо число від 1 до 20. Ймовірність, що воно парне:

Задача 3 · Середня

Кидаємо два кубики і знаходимо суму. Ймовірність, що сума = 7:

Всього результатів при двох кубиках: \(6 \times 6 = 36\).

Пари, що дають суму 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 пар.

\(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).

Задача 4 · Середня

Навмання обираємо число від 1 до 30. Ймовірність, що воно ділиться на 5:

Числа від 1 до 30, що діляться на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30 → 6 чисел.
\(P = \dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}\).

(Зверни увагу: варіанти A і C — це одне й те саме число! \(\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}\), а не \(\dfrac{1}{5}\). На CMS завжди перевіряй скорочення.)

Задача 5 · Середня

В мішку 4 білі і 6 чорних кульок. Витягають 2 навмання без повернення. Ймовірність, що обидві чорні:

Перша чорна: \(\dfrac{6}{10}\).
Після цього залишилось 5 чорних з 9 → друга чорна: \(\dfrac{5}{9}\).

Обидві: \(\dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{90} = \dfrac{1}{3}\).

Задача 6 · Середня+

Три числа вибирають навмання з множини \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Скільки способів вибрати три числа з парною сумою?

Парні: {2, 4, 6}. Непарні: {1, 3, 5}.

Сума парна, якщо: всі три парні, або одне парне + два непарних.

Всі три парні: \(\binom{3}{3} = 1\) спосіб.
Одне парне + два непарних: \(\binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 3 \times 3 = 9\) способів.

Всього: \(1 + 9 = 10\).

(Це задача CMS 2021 Q24!)

Шпаргалка — Ймовірність

Базова формула: \(P = \dfrac{\text{сприятливі}}{\text{всього}}\)
Протилежна подія: \(P(\text{НЕ }A) = 1 - P(A)\)
«І» (обидві): множимо ймовірності
«АБО» (хоча б одна): додаємо ймовірності
Без повернення: після витягування зменшуй і чисельник, і знаменник
Кубик: 6 результатів, кожен з ймовірністю \(\dfrac{1}{6}\)
Два кубики: 36 результатів