Відсотки та пропорції

1

Що таке відсоток?

Означення

\(1\% = \dfrac{1}{100}\)

«Відсоток» буквально означає «на сто». 25% = 25 зі 100 = одна чверть.

Корисні відсотки напам'ять

\(50\% = \dfrac{1}{2}\)\(25\% = \dfrac{1}{4}\) \(20\% = \dfrac{1}{5}\)\(10\% = \dfrac{1}{10}\) \(75\% = \dfrac{3}{4}\)\(33\tfrac{1}{3}\% = \dfrac{1}{3}\)

Спробуй

\(40\%\) від 250 дорівнює:

2

Три типи задач

Майже кожна задача на відсотки — це один із трьох типів:

Тип 1 — Знайти частину

Скільки це — 30% від 200?

\(200 \times 0{,}30 = 60\). Або: \(\dfrac{30}{100} \times 200 = 60\).

Тип 2 — Знайти ціле

20% учнів — це 50 осіб. Скільки всього учнів?

Якщо \(20\% = 50\), то \(1\% = \dfrac{50}{20} = 2{,}5\). Отже \(100\% = 250\).

Тип 3 — Знайти відсоток

З 80 учнів 20 — відмінники. Який відсоток відмінників?

\(\dfrac{20}{80} = 0{,}25 = 25\%\).

Задача CMS 2025 — Q2

20% учнів НЕ користуються TokTik. Ті, хто користується — 200 осіб. Скільки НЕ користується?

200 = 80% (бо 100% − 20% = 80%).
\(1\% = \dfrac{200}{80} = 2{,}5\). Отже \(20\% = 50\).

Спробуй

15% вартості книги — це 12 грн. Повна вартість книги:

Спробуй

У класі 40 учнів, 14 отримали «відмінно». Відсоток відмінників:

3

Збільшення і зменшення

Головне правило

Збільшити на \(p\%\): помножити на \(\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\)
Зменшити на \(p\%\): помножити на \(\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)\)

Приклад — знижка

Ціна товару 800 грн. Знижка 25%. Нова ціна?

\(800 \times (1 - 0{,}25) = 800 \times 0{,}75 = 600\) грн.

Або: знижка = \(800 \times 0{,}25 = 200\). Нова ціна = \(800 - 200 = 600\).

Типова пастка

Збільшити на 20%, а потім зменшити на 20% — це НЕ повернення до початку!

Було 100. Збільшили на 20%: \(100 \times 1{,}2 = 120\).
Зменшили на 20%: \(120 \times 0{,}8 = 96\). Це на 4% менше за початкове!

Спробуй

Ціна зросла на 50%, а потім зменшилась на 50%. Порівняно з початковою ціною, результат:

Нехай початкова = 100.
+50%: \(100 \times 1{,}5 = 150\).
−50%: \(150 \times 0{,}5 = 75\).
\(75\) замість \(100\) → на 25% менше.

4

Зміна площі

Це улюблена тема CMS! Якщо змінюються сторони фігури на відсотки, площа змінюється по-іншому.

Ключовий факт

Якщо кожну сторону збільшити на \(p\%\), площа зростає не на \(p\%\), а на більше!

Нова площа = \((1 + \dfrac{p}{100})^2 \times S\)

Задача з тесту — Q23

Сторони прямокутника збільшили на 10%. На скільки відсотків збільшилась площа?

Множник для кожної сторони: \(1{,}1\).

Нова площа: \(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\) від початкової.

Збільшення: \(1{,}21 - 1 = 0{,}21 = \mathbf{21\%}\).

Формула швидкого підрахунку

Якщо обидві сторони збільшуються на \(p\%\):
Площа зростає приблизно на \(2p + \dfrac{p^2}{100}\) відсотків.

Для \(p = 10\%\): \(2 \times 10 + \dfrac{100}{100} = 20 + 1 = 21\%\). Точно!

Спробуй

Сторони квадрата збільшили на 20%. Площа збільшилась на:

\(1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44\). Збільшення: \(44\%\).
Або: \(2 \times 20 + \dfrac{400}{100} = 40 + 4 = 44\%\).

Спробуй

Одну сторону прямокутника збільшили на 50%, іншу зменшили на 50%. Площа:

\(1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75\). Площа стала 75% від початкової → зменшилась на 25%.

5

Пропорції та співвідношення

Пропорція — це рівність двох дробів: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\).

Співвідношення \(a : b\) означає, що на кожні \(a\) частин одного є \(b\) частин іншого.

Приклад — розподіл за пропорцією

180 цукерок розділили між Аліною та Богданом у співвідношенні 2 : 3. Скільки дістав Богдан?

Всього частин: \(2 + 3 = 5\).

Одна частина: \(180 \div 5 = 36\).

Богдан (3 частини): \(36 \times 3 = 108\).

Задача CMS 2024 — Q5

Книга має розділи Арифметика і Геометрія. Геометрія = \(\dfrac{1}{3}\) від Арифметики. Яку частину книги займає Арифметика?

Нехай Арифметика = 3 частини, Геометрія = 1 частина.
Всього = 4 частини. Арифметика = \(\dfrac{3}{4}\) книги.

Спробуй

240 грн розділили у співвідношенні 3 : 5. Більша частина:

Спробуй

У класі хлопці і дівчата у співвідношенні 3 : 2. Всього 35 учнів. Скільки дівчат?

6

Олімпіадна практика

Задача 1 · Легка

В класі 25% учнів носять окуляри. Якщо учнів 32, скільки носять окуляри?

Задача 2 · Легка

Товар коштував 400 грн. Ціну знизили на 15%. Нова ціна:

Задача 3 · Середня

Після підвищення ціни на 25% товар коштує 500 грн. Початкова ціна:

500 = 125% від початкової.
\(1\% = \dfrac{500}{125} = 4\). Отже \(100\% = 400\) грн.

Задача 4 · Середня

Сторону квадрата збільшили на 30%. На скільки відсотків збільшилась площа?

\(1{,}3 \times 1{,}3 = 1{,}69\). Площа збільшилась на \(69\%\).
Або: \(2 \times 30 + \dfrac{900}{100} = 60 + 9 = 69\%\).

Задача 5 · Середня

Суміш складається з води і соку у співвідношенні 7 : 3. Скільки соку в 500 мл суміші?

Всього частин: \(7 + 3 = 10\).
Одна частина: \(500 \div 10 = 50\) мл.
Сік (3 частини): \(50 \times 3 = 150\) мл.

Задача 6 · Середня+

Ціну двічі підвищили на 10%. Загальне підвищення:

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\). Загальне підвищення = 21%.
Два рази по 10% ≠ 20%! Другий раз 10% рахується від більшого числа.

Шпаргалка — Відсотки та пропорції

Знайти частину: число \(\times \dfrac{p}{100}\)
Знайти ціле: частина \(\div \dfrac{p}{100}\)
Знайти відсоток: \(\dfrac{\text{частина}}{\text{ціле}} \times 100\%\)
Збільшити на \(p\%\): \(\times (1 + \dfrac{p}{100})\)
Зменшити на \(p\%\): \(\times (1 - \dfrac{p}{100})\)
Площа при зміні сторін на \(p\%\): площа змінюється на \(\approx 2p + \dfrac{p^2}{100}\)%
Пропорція \(a : b\): одна частина = ціле \(\div (a+b)\)
Пастка: +20% потім −20% ≠ початкове!