Число \(a\) ділиться на число \(b\), якщо при діленні \(a \div b\) остача дорівнює нулю. Наприклад, 12 ділиться на 3, бо \(12 \div 3 = 4\) (без остачі).
Запам'ятай ці ознаки — вони економлять час на олімпіаді:
Подільність, прості числа, цифри та їхні секрети. Числа приховують красиві закономірності — давай їх відкриємо.
Число \(a\) ділиться на число \(b\), якщо при діленні \(a \div b\) остача дорівнює нулю. Наприклад, 12 ділиться на 3, бо \(12 \div 3 = 4\) (без остачі).
Запам'ятай ці ознаки — вони економлять час на олімпіаді:
| Ділиться на | Ознака | Приклад |
|---|---|---|
| 2 | Остання цифра парна (0, 2, 4, 6, 8) | 374 → 4 парна ✓ |
| 3 | Сума цифр ділиться на 3 | 528 → 5+2+8 = 15 ✓ |
| 4 | Останні дві цифри діляться на 4 | 1 316 → 16 ÷ 4 = 4 ✓ |
| 5 | Остання цифра 0 або 5 | 2 735 → 5 ✓ |
| 6 | Ділиться і на 2, і на 3 | 354 → парна + (3+5+4=12) ✓ |
| 9 | Сума цифр ділиться на 9 | 729 → 7+2+9 = 18 ✓ |
| 10 | Остання цифра 0 | 1 530 → 0 ✓ |
| 11 | Різниця сум цифр на парних і непарних позиціях ділиться на 11 | 2 574 → (2+7)−(5+4) = 0 ✓ |
Просте число — це число більше за 1, яке ділиться тільки на 1 та на себе.
Перші прості: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…
Прості числа від 1 до 50 (виділені синім):
Скільки простих чисел між 30 і 50?
Перевіримо кожне: 31 ✓, 32 ✗, 33 ✗, 34 ✗, 35 ✗, 36 ✗, 37 ✓, 38 ✗, 39 ✗, 40 ✗, 41 ✓, 42 ✗, 43 ✓, 44 ✗, 45 ✗, 46 ✗, 47 ✓, 48 ✗, 49 ✗.
Відповідь: 5 (це 31, 37, 41, 43, 47).
НСД (найбільший спільний дільник) — найбільше число, на яке діляться обидва числа.
НСК (найменше спільне кратне) — найменше число, яке ділиться на обидва числа.
Знайдемо НСД(18, 24).
Дільники 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Дільники 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Спільні: 1, 2, 3, 6. Найбільший → НСД = 6.
Знайдемо НСК(12, 15).
Кратні 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72…
Кратні 15: 15, 30, 45, 60, 75…
Перше спільне → НСК = 60.
Двоцифрове число з цифрами \(a\) (десятки) та \(b\) (одиниці) можна записати як:
Сума цифр двоцифрового числа — 12. Якщо цифри переставити, нове число на 36 менше за початкове. Яке це число?
Нехай число \(\overline{ab}\), тоді:
\(a + b = 12\)
\(\overline{ab} - \overline{ba} = 36\), тобто \(9(a-b) = 36\), отже \(a - b = 4\).
З системи: \(a + b = 12\) та \(a - b = 4\) → \(a = 8\), \(b = 4\).
Відповідь: 84.
Це улюблена тема CMS! Остання цифра степені циклічно повторюється. Потрібно лише знайти цикл.
| Основа | \(n=1\) | \(n=2\) | \(n=3\) | \(n=4\) | Цикл |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | 8 | 6 | 2, 4, 8, 6 (довж. 4) |
| 3 | 3 | 9 | 7 | 1 | 3, 9, 7, 1 (довж. 4) |
| 4 | 4 | 6 | 4 | 6 | 4, 6 (довж. 2) |
| 7 | 7 | 9 | 3 | 1 | 7, 9, 3, 1 (довж. 4) |
| 8 | 8 | 4 | 2 | 6 | 8, 4, 2, 6 (довж. 4) |
| 9 | 9 | 1 | 9 | 1 | 9, 1 (довж. 2) |
Остання цифра \(7^{100}\) дорівнює:
Цикл для 7: 7, 9, 3, 1 (довжина 4).
\(100 \div 4 = 25\) (остача 0).
Остача 0 → остання позиція в циклі → 1.
Коли \(17 \div 5 = 3\) з остачею \(2\), ми пишемо: \(17 = 5 \times 3 + 2\).
Остача — це те, що «залишається». Вона завжди менша за дільник.
Яка остача від ділення \(176543 + 92841\) на 4?
Для ділення на 4 достатньо подивитись на останні дві цифри:
\(176543\): останні дві — 43. \(43 \div 4 = 10\) з остачею 3.
\(92841\): останні дві — 41. \(41 \div 4 = 10\) з остачею 1.
Остача суми: \(3 + 1 = 4\). \(4 \div 4 = 1\) з остачею 0.