Number Theory and Digits — CMS Math Olympiad

1

Divisibility

Число \(a\) ділиться на число \(b\), якщо при діленні \(a \div b\) remainder equals нулю. Наприклад, 12 ділиться на 3, бо \(12 \div 3 = 4\) (без остачі).

Запам'ятай ці ознаки — вони економлять час на олімпіаді:

Ділиться на	Ознака	Example
2	The last digit of парна (0, 2, 4, 6, 8)	374 → 4 парна ✓
3	Сума цифр ділиться на 3	528 → 5+2+8 = 15 ✓
4	Останні дві цифри діляться на 4	1 316 → 16 ÷ 4 = 4 ✓
5	The last digit of 0 або 5	2 735 → 5 ✓
6	Ділиться і на 2, і на 3	354 → парна + (3+5+4=12) ✓
9	Сума цифр ділиться на 9	729 → 7+2+9 = 18 ✓
10	The last digit of 0	1 530 → 0 ✓
11	Різниця сум цифр на парних і непарних позиціях ділиться на 11	2 574 → (2+7)−(5+4) = 0 ✓

Main rule

Ознака на 3 та на 9 — найчастіші на олімпіаді. Просто додай усі цифри і подивись, чи ділиться сума.

Try it

The number 4,572 is divisible by:

2

Prime numbers

Просте число — це число more за 1, яке ділиться тільки на 1 та на себе.

Перші прості: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…

Take note

2 — єдине парне просте число. Всі інші парні числа діляться на 2, тому не можуть бути простими.
1 — НЕ просте число (за означенням).

Prime numbers від 1 до 50 (виділені синім):

How do you test whether a number is prime?

Щоб перевірити число \(n\), спробуй поділити його на всі прості числа від 2 до \(\sqrt{n}\).

Example: Чи 37 просте?
\(\sqrt{37} \approx 6{,}1\). Перевіряємо: 37 ÷ 2 ✗, 37 ÷ 3 ✗, 37 ÷ 5 ✗. Жодне не ділить → 37 просте.

Test problem — Q20

How many простих чисел між 30 і 50?

Перевіримо кожне: 31 ✓, 32 ✗, 33 ✗, 34 ✗, 35 ✗, 36 ✗, 37 ✓, 38 ✗, 39 ✗, 40 ✗, 41 ✓, 42 ✗, 43 ✓, 44 ✗, 45 ✗, 46 ✗, 47 ✓, 48 ✗, 49 ✗.

Відповідь: 5 (це 31, 37, 41, 43, 47).

Try it

How many prime numbers are there between 10 and 30?

3

GCD and LCM

НСД (largest спільний дільник) — найmore число, на яке діляться обидва числа.

НСК (найменше спільне кратне) — найменше число, яке ділиться на обидва числа.

Як знайти НСД — простий спосіб

Знайдемо НСД(18, 24).

Дільники 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Дільники 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Спільні: 1, 2, 3, 6. Найбільший → НСД = 6.

Як знайти НСК — простий спосіб

Знайдемо НСК(12, 15).

Кратні 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72…

Кратні 15: 15, 30, 45, 60, 75…

Перше спільне → НСК = 60.

Hint

Для невеликих чисел найшвидше — просто виписати дільники або кратні. Не потрібні складні формули!

Try it

НСД(18, 24) equals:

Try it

НСК(12, 15) equals:

4

Digits of a number

Двоцифрове число з цифрами \(a\) (десятки) та \(b\) (одиниці) можна записати як:

Запис числа через цифри

\(\overline{ab} = 10a + b\)

Зворотне число: \(\overline{ba} = 10b + a\)
Різниця: \(\overline{ab} - \overline{ba} = 9(a - b)\)

Nice fact

Різниця двоцифрового числа та його «оберненого» числа завжди ділиться на 9. Наприклад: \(84 - 48 = 36 = 9 \times 4\).

Test problem — Q21

Сума цифр двоцифрового числа — 12. Якщо цифри переставити, нове число на 36 менше за початкове. Яке це число?

Нехай число \(\overline{ab}\), тоді:

\(a + b = 12\)

\(\overline{ab} - \overline{ba} = 36\), тобто \(9(a-b) = 36\), отже \(a - b = 4\).

З системи: \(a + b = 12\) та \(a - b = 4\) → \(a = 8\), \(b = 4\).

Відповідь: 84.

Try it

Сума цифр двоцифрового числа — 10. Якщо цифри переставити, нове число на 54 менше. Яке початкове число?

\(a + b = 10\) і \(9(a - b) = 54 \Rightarrow a - b = 6\).
\(a = 8, b = 2\). Число: 82.

Try it

The three-digit number \(\overline{3a7}\) ділиться на 9. Digit \(a\) equals:

5

The last digit of a power

Це улюблена тема CMS! The last digit of степені циклічно повторюється. Потрібно лише знайти цикл.

Основа	\(n=1\)	\(n=2\)	\(n=3\)	\(n=4\)	Цикл
2	2	4	8	6	2, 4, 8, 6 (довж. 4)
3	3	9	7	1	3, 9, 7, 1 (довж. 4)
4	4	6	4	6	4, 6 (довж. 2)
7	7	9	3	1	7, 9, 3, 1 (довж. 4)
8	8	4	2	6	8, 4, 2, 6 (довж. 4)
9	9	1	9	1	9, 1 (довж. 2)

Algorithm

1. Знайди цикл останніх цифр для даної основи.
2. Подели показник на довжину циклу.
3. Остача вказує позицію в циклі. (Остача 0 = остання позиція.)

Test problem — Q22

The last digit of \(7^{100}\) equals:

Цикл для 7: 7, 9, 3, 1 (довжина 4).

\(100 \div 4 = 25\) (remainder 0).

Остача 0 → остання позиція в циклі → 1.

Try it

The last digit of \(3^{2025}\) equals:

Цикл для 3: 3, 9, 7, 1 (довжина 4).
\(2025 \div 4 = 506\) з остачею \(1\).
Остача 1 → перша позиція → 3.

Try it

The last digit of \(2^{50}\) equals:

Цикл для 2: 2, 4, 8, 6 (довжина 4).
\(50 \div 4 = 12\) з остачею \(2\).
Остача 2 → друга позиція → 4.

6

Remainders

Коли \(17 \div 5 = 3\) з остачею \(2\), ми пишемо: \(17 = 5 \times 3 + 2\).

Остача — це те, що «залишається». Вона завжди менша за дільник.

Головні властивості остач

Остача суми = сума остач (потім візьми остачу ще раз)
Остача добутку = добуток остач (потім візьми остачу ще раз)

Example: remainder від \(23 + 19\) при діленні на 7:
\(23 = 7 \times 3 + \mathbf{2}\), \(19 = 7 \times 2 + \mathbf{5}\)
Остача суми: \(2 + 5 = 7\). Але \(7 \div 7 = 1\) з остачею 0.

Example — remainder великого числа

Яка remainder від ділення \(176543 + 92841\) на 4?

Для ділення на 4 достатньо подивитись на останні дві цифри:

\(176543\): останні дві — 43. \(43 \div 4 = 10\) з остачею 3.

\(92841\): останні дві — 41. \(41 \div 4 = 10\) з остачею 1.

Остача суми: \(3 + 1 = 4\). \(4 \div 4 = 1\) з остачею 0.

Try it

The remainder when dividing \(2^{10}\) на 7 equals:

\(2^{10} = 1024\). \(1024 \div 7 = 146\) з остачею \(1024 - 146 \times 7 = 1024 - 1022 = 2\).

Відповідь: remainder 2.

7

Olympiad practice

Задача 1 · Легка

How many divisors does 36 have?

Просто виписуємо всі дільники 36:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Порахуємо: 9 дільників.

Hint: шукай парами — \(1 \times 36\), \(2 \times 18\), \(3 \times 12\), \(4 \times 9\), \(6 \times 6\). Так точно нічого не пропустиш.

Задача 2 · Легка

How many integers from 1 to 60 are divisible by 3 or 5?

Рахуємо окремо:
Діляться на 3: від 3 до 60 через 3 → це 20 чисел.
Діляться на 5: від 5 до 60 через 5 → це 12 чисел.

Але деякі ділятся і на 3, і на 5 (тобто на 15) — їх ми порахували двічі.
Діляться на 15: від 15 до 60 через 15 → це 4 числа (15, 30, 45, 60).

Відповідь: \(20 + 12 - 4 = \mathbf{28}\).

Задача 3 · Середня

The last digit of числа \(5^{2025} - 3^{2024}\) equals:

\(5^n\) завжди закінчується на 5 (для \(n \geq 1\)).

\(3^{2024}\): цикл 3, 9, 7, 1 (довж. 4). \(2024 \div 4 = 506\), remainder 0 → остання позиція → 1.

\(5 - 1 = \mathbf{4}\).

Задача 4 · Середня

The three-digit number \(\overline{2a3}\) ділиться на 9. Digit \(a\) equals:

Сума цифр: \(2 + a + 3 = 5 + a\).
Для подільності на 9 потрібно, щоб \(5 + a\) ділилось на 9.
\(5 + 4 = 9\) ✓. Перевірка: \(243 \div 9 = 27\) ✓.
Відповідь: \(a = \mathbf{4}\).

Задача 5 · Середня

What is the sum of the prime divisors of 60?

Розкладемо 60 на прості множники:
\(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5\)

Прості дільники (без повторів): 2, 3, 5.
Сума: \(2 + 3 + 5 = \mathbf{10}\).

Задача 6 · Середня+

The remainder when dividing числа \(2024^{2024} \times 2024^{2025}\) на 2024 equals:

\(2024^{2024} \times 2024^{2025} = 2024^{4049}\).
Оскільки показник \(\geq 1\), це число ділиться на 2024.
Остача = 0.

Задача 7 · Середня+

How many divisors of 48 are greater than 3?

Всі дільники 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Більші за 3: 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 → 7 дільників.

Hint: шукай парами — \(1 \times 48\), \(2 \times 24\), \(3 \times 16\), \(4 \times 12\), \(6 \times 8\).

Шпаргалка — Теорія чисел

Divisibility на 3: сума цифр ділиться на 3
Divisibility на 9: сума цифр ділиться на 9
Divisibility на 4: останні 2 цифри діляться на 4
Divisibility на 11: різниця сум парних і непарних цифр
Просте число: ділиться тільки на 1 і на себе
НСД: largest спільний дільник — шукай перебором
НСК: найменше спільне кратне — виписуй кратні
Двоцифрове: \(\overline{ab} = 10a + b\), різниця з оберненим = \(9(a-b)\)
The last digit of a power: знайди цикл → діли показник на довжину
Остача суми: сума остач (потім ще раз remainder)
Дільники: шукай парами — \(1 \times n\), \(2 \times ?\), \(3 \times ?\)…