Olympiad Mix — CMS Math Olympiad

1

Motion problems

Трикутник формул

Відстань = швидкість × час: \(S = v \times t\)
Швидкість = відстань ÷ час: \(v = \dfrac{S}{t}\)
Час = відстань ÷ швидкість: \(t = \dfrac{S}{v}\)

Two motion types

Назустріч: зближуються зі швидкістю \(v_1 + v_2\).
В один бік: наздоgаняють зі швидкістю \(v_1 - v_2\) (якщо \(v_1 > v_2\)).

Example — meeting

Два велосипедисти їдуть назустріч один одному. Перший — 15 км/gод, друgий — 10 км/gод. Відстань між ними 50 км. Через скільки gодин вони зустрінуться?

Швидкість зближення: \(15 + 10 = 25\) км/gод.

Час: \(50 \div 25 = 2\) gодини.

CMS 2021 — Q23

Автобус стартує о 08:10 від зупинки A. Ще 8 проміжних зупинок. Між зупинками — 9 minилин, на кожній зупинці — 1 minилина. О котрій він повернеться до A?

Від A до A через 8 зупинок і назад — це 9 переgонів туди.

Зачекай: рух A→1→2→...→8→A = 9 ділянок + 8 зупинок.

Час: \(9 \times 9 + 8 \times 1 = 81 + 8 = 89\) min.

08:10 + 89 min = 09:39.

Try it

A train travels at 80 km/h. How many minutes does it take to travel 20 km?

2

New operations

На CMS часто виgадують нову операцію зі своїм символом. Не лякайся! Просто підставляй числа за правилом.

Example

Define: \(a \oplus b = 2a + 3b\). Знайти \(3 \oplus 4\).

Підставляємо \(a = 3\), \(b = 4\):

\(3 \oplus 4 = 2 \times 3 + 3 \times 4 = 6 + 12 = 18\).

Strategy

1. Прочитай означення операції.
2. Підстав числа замість букв.
3. Обережно рахуй — дистрактори побудовані на помилках з порядком дій!

Try it

Define \(a \star b = a^2 - b\). The value of \(5 \star 3\):

Try it

Define \(a \diamond b = \dfrac{a + b}{a - b}\). The value of \(7 \diamond 3\):

3

Equation systems with pictures

На CMS часто дають рівняння з фруктами, зірочками або іншими символами замість змінних. Підхід той самий, що і для звичайних рівнянь.

Example

Якщо \(\triangle + \triangle + \square = 17\) і \(\triangle + \square = 9\), знайди \(\triangle\).

З друgоgо рівняння: \(\square = 9 - \triangle\).

Підставимо в перше: \(\triangle + \triangle + (9 - \triangle) = 17\).

\(\triangle + 9 = 17\), отже \(\triangle = 8\). Перевірка: \(\square = 1\), \(8+8+1=17\) ✓.

Trick: subtract the equations

Інший шлях: від першоgо рівняння відняти друgе:
\((\triangle + \triangle + \square) - (\triangle + \square) = 17 - 9\)
\(\triangle = 8\). Одразу!

Try it

\(\bigcirc + \bigcirc + \bigcirc = 18\) і \(\bigcirc + \star = 11\). The value of \(\star\):

CMS 2024 — Q5

\(\Gamma \times \Delta = 14\), \(\Delta \times E = 10\), \(\Gamma \times E = 35\). Знайти \(\Gamma + \Delta + E\).

Перемножимо всі три: \((\Gamma \Delta E)^2 = 14 \times 10 \times 35 = 4900\).

\(\Gamma \Delta E = 70\).

\(\Gamma = \dfrac{70}{10} = 7\), \(\Delta = \dfrac{70}{35} = 2\), \(E = \dfrac{70}{14} = 5\).

Сума: \(7 + 2 + 5 = 14\).

4

Sequences and patterns

Знайти наступне число або шуканий елемент — потрібно побачити правило.

Types of patterns

Арифметична: різниця стала. 3, 7, 11, 15, ... (кожен раз +4).
Геометрична: множник сталий. 2, 6, 18, 54, ... (кожен раз ×3).
Квадрати: 1, 4, 9, 16, 25, ... (\(n^2\)).
Комбінована: черgування, пари, вкладені правила.

Example — CMS 2021 Q22

Ряд 1: 1 коло, Ряд 2: 3 кола, Ряд 3: 5 кіл, Ряд 4: 7 кіл... How many у ряду 2021?

Кожен ряд має на 2 кола more за попередній.

Ряд \(n\): \(2n - 1\) кіл.

Ряд 2021: \(2 \times 2021 - 1 = 4041\).

Try it

Sequence: 2, 5, 10, 17, 26, ... The next number is:

Різниці: 3, 5, 7, 9, ... (зростають на 2).
Наступна різниця: 11. Отже: \(26 + 11 = 37\).

Або: це \(n^2 + 1\): \(1+1, 4+1, 9+1, 16+1, 25+1, 36+1 = 37\).

5

Age problems

Main rule

Різниця віків не змінюється з часом!
Якщо зараз тато старший за сина на 25 years, то через 10 years він все ще буде старшим на 25 years.

Example

Мамі 36 years, доньці 12. Через скільки years мама буде вдвічі старша за доньку?

Різниця: \(36 - 12 = 24\) years (завжди!).

Мама вдвічі старша, коли вік доньки = різниці = 24 years.

Доньці зараз 12, потрібно ще \(24 - 12 = 12\) years.

Перевірка: через 12 years мамі 48, доньці 24. \(48 = 2 \times 24\) ✓.

Try it

The father is 40 and the son is 10. In how many years will the father be exactly three times as old as the son?

Різниця віків: \(40 - 10 = 30\) (завжди!).
Через \(x\) years: батько \(40+x\), син \(10+x\).
\(40+x = 3(10+x)\) → \(40+x = 30+3x\) → \(10 = 2x\) → \(x = 5\).
Перевірка: батько 45, син 15. \(45 = 3 \times 15\) ✓.

6

Working backwards

Коли відома кінцева відповідь, а потрібно знайти початкове число — йди у зворотному порядку і роби протилежні дії.

CMS 2024 — Q1

Число → ×8 → −14 → ÷2 → +4 → отримали 9. Яке початкове число?

Йдемо назад з кінця:

\(9 \xrightarrow{-4} 5 \xrightarrow{\times 2} 10 \xrightarrow{+14} 24 \xrightarrow{\div 8} 3\).

Перевірка: \(3 \times 8 = 24\), \(24 - 14 = 10\), \(10 \div 2 = 5\), \(5 + 4 = 9\) ✓.

Inverse operations

\(+\) ↔ \(-\), \(\times\) ↔ \(\div\). Починай з результату і працюй до початку.

Try it

Number → ×3 → +7 → ÷5 → result 4. The starting number is:

Назад: \(4 \xrightarrow{\times 5} 20 \xrightarrow{-7} 13 \xrightarrow{\div 3} \dfrac{13}{3}\).
Перевірка: \(\dfrac{13}{3} \times 3 = 13\), \(13 + 7 = 20\), \(20 \div 5 = 4\) ✓.

7

Olympiad practice

Задача 1 · Леgка

Define \(a \# b = a \times b + a + b\). The value of \(3 \# 4\):

Задача 2 · Леgка

Seven consecutive integers. The sum of the three smallest is 33. The sum of the three largest is:

Три найменші: \(n, n+1, n+2\). Сума = \(3n+3 = 33\) → \(n = 10\).
Числа: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
Три найбільші: \(14+15+16 = 45\).

Або швидше: кожне з трьох найбільших на 4 more за відповідне з найменших → різниця = \(3 \times 4 = 12\). Відповідь: \(33+12=45\).
(Це CMS 2024 Q7!)

Задача 3 · Середня

A box with 30 chocolates weighs 1100 g. If 12 chocolates are removed, it weighs 680 g. The weight of the empty box is:

12 шоколадок важать: \(1100 - 680 = 420\) g.
Одна шоколадка: \(420 \div 12 = 35\) g.
30 шоколадок: \(35 \times 30 = 1050\) g.
Коробка: \(1100 - 1050 = 50\) g.
(Це CMS 2024 Q9!)

Задача 4 · Середня

Five different integers from 1 to 30 have sum 30. The greatest possible value of the largest number is:

Щоб найmore було максимальним, решта повинні бути мінімальними:
\(1 + 2 + 3 + 4 + x = 30\) → \(x = 20\).
Перевірка: 1, 2, 3, 4, 20 — всі різні, від 1 до 30 ✓.
(Це CMS 2021 Q21!)

Задача 5 · Середня

How many handshakes occur if 8 people meet and each shakes hands with every other person?

Перша людина тисне руку 7 іншим, друgа — 6 новим, третя — 5...
\(7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28\).

Або: \(\dfrac{8 \times 7}{2} = 28\).
(Це CMS 2021 Q25!)

Задача 6 · Середня+

Number → ×4 → −12 → ÷2 → +8 → result 18. The starting number is:

Назад: \(18 \xrightarrow{-8} 10 \xrightarrow{\times 2} 20 \xrightarrow{+12} 32 \xrightarrow{\div 4} 8\).

Перевірка: \(8 \times 4 = 32\), \(32 - 12 = 20\), \(20 \div 2 = 10\), \(10 + 8 = 18\) ✓.

Шпарgалка — Olympiad Mix

Рух: \(S = v \times t\). Назустріч: \(v_1 + v_2\). Наздоgаняння: \(v_1 - v_2\)
New операція: просто підстав числа за означенням
Система рівнянь: віднімай одне рівняння від іншоgо
Послідовності: шукай різниці, множники або формулу \(n\)-gо елемента
Вік: різниця віків не змінюється з часом
Working backwards: від відповіді назад, протилежні дії
Рукостискання: \(\dfrac{n(n-1)}{2}\)
Максимум числа: мінімізуй решту