🧩

CMS Math Olympiad · 6th Grade

Олімпіадний мікс

Задачі на кмітливість, нестандартне мислення і різні типи міркувань. Саме вони роблять олімпіаду цікавою!

Задачі на рух

Трикутник формул

Відстань = швидкість × час: \(S = v \times t\)
Швидкість = відстань ÷ час: \(v = \dfrac{S}{t}\)
Час = відстань ÷ швидкість: \(t = \dfrac{S}{v}\)

Два типи руху

Назустріч: зближуються зі швидкістю \(v_1 + v_2\).
В один бік: наздоганяють зі швидкістю \(v_1 - v_2\) (якщо \(v_1 > v_2\)).

Приклад — зустріч

Два велосипедисти їдуть назустріч один одному. Перший — 15 км/год, другий — 10 км/год. Відстань між ними 50 км. Через скільки годин вони зустрінуться?

Швидкість зближення: \(15 + 10 = 25\) км/год.

Час: \(50 \div 25 = 2\) години.

Задача CMS 2021 — Q23

Автобус стартує о 08:10 від зупинки A. Ще 8 проміжних зупинок. Між зупинками — 9 хвилин, на кожній зупинці — 1 хвилина. О котрій він повернеться до A?

Від A до A через 8 зупинок і назад — це 9 перегонів туди.

Зачекай: рух A→1→2→...→8→A = 9 ділянок + 8 зупинок.

Час: \(9 \times 9 + 8 \times 1 = 81 + 8 = 89\) хв.

08:10 + 89 хв = 09:39.

Спробуй

Поїзд їде зі швидкістю 80 км/год. За скільки хвилин він проїде 20 км?

· · ·

Нові операції

На CMS часто вигадують нову операцію зі своїм символом. Не лякайся! Просто підставляй числа за правилом.

Приклад

Визначимо: \(a \oplus b = 2a + 3b\). Знайти \(3 \oplus 4\).

Підставляємо \(a = 3\), \(b = 4\):

\(3 \oplus 4 = 2 \times 3 + 3 \times 4 = 6 + 12 = 18\).

Стратегія

1. Прочитай означення операції.
2. Підстав числа замість букв.
3. Обережно рахуй — дистрактори побудовані на помилках з порядком дій!

Спробуй

Визначимо \(a \star b = a^2 - b\). Значення \(5 \star 3\):

Спробуй

Визначимо \(a \diamond b = \dfrac{a + b}{a - b}\). Значення \(7 \diamond 3\):

· · ·

Системи рівнянь у картинках

На CMS часто дають рівняння з фруктами, зірочками або іншими символами замість змінних. Підхід той самий, що і для звичайних рівнянь.

Приклад

Якщо \(\triangle + \triangle + \square = 17\) і \(\triangle + \square = 9\), знайди \(\triangle\).

З другого рівняння: \(\square = 9 - \triangle\).

Підставимо в перше: \(\triangle + \triangle + (9 - \triangle) = 17\).

\(\triangle + 9 = 17\), отже \(\triangle = 8\). Перевірка: \(\square = 1\), \(8+8+1=17\) ✓.

Трюк: віднімання рівнянь

Інший шлях: від першого рівняння відняти друге:
\((\triangle + \triangle + \square) - (\triangle + \square) = 17 - 9\)
\(\triangle = 8\). Одразу!

Спробуй

\(\bigcirc + \bigcirc + \bigcirc = 18\) і \(\bigcirc + \star = 11\). Значення \(\star\):

Задача CMS 2024 — Q5

\(\Gamma \times \Delta = 14\), \(\Delta \times E = 10\), \(\Gamma \times E = 35\). Знайти \(\Gamma + \Delta + E\).

Перемножимо всі три: \((\Gamma \Delta E)^2 = 14 \times 10 \times 35 = 4900\).

\(\Gamma \Delta E = 70\).

\(\Gamma = \dfrac{70}{10} = 7\), \(\Delta = \dfrac{70}{35} = 2\), \(E = \dfrac{70}{14} = 5\).

Сума: \(7 + 2 + 5 = 14\).

· · ·

Послідовності та закономірності

Знайти наступне число або шуканий елемент — потрібно побачити правило.

Типи закономірностей

Арифметична: різниця стала. 3, 7, 11, 15, ... (кожен раз +4).
Геометрична: множник сталий. 2, 6, 18, 54, ... (кожен раз ×3).
Квадрати: 1, 4, 9, 16, 25, ... (\(n^2\)).
Комбінована: чергування, пари, вкладені правила.

Приклад — CMS 2021 Q22

Ряд 1: 1 коло, Ряд 2: 3 кола, Ряд 3: 5 кіл, Ряд 4: 7 кіл... Скільки у ряду 2021?

Кожен ряд має на 2 кола більше за попередній.

Ряд \(n\): \(2n - 1\) кіл.

Ряд 2021: \(2 \times 2021 - 1 = 4041\).

Спробуй

Послідовність: 2, 5, 10, 17, 26, ... Наступне число:

Різниці: 3, 5, 7, 9, ... (зростають на 2).
Наступна різниця: 11. Отже: \(26 + 11 = 37\).

Або: це \(n^2 + 1\): \(1+1, 4+1, 9+1, 16+1, 25+1, 36+1 = 37\).

· · ·

Задачі на вік

Головне правило

Різниця віків не змінюється з часом!
Якщо зараз тато старший за сина на 25 років, то через 10 років він все ще буде старшим на 25 років.

Приклад

Мамі 36 років, доньці 12. Через скільки років мама буде вдвічі старша за доньку?

Різниця: \(36 - 12 = 24\) роки (завжди!).

Мама вдвічі старша, коли вік доньки = різниці = 24 роки.

Доньці зараз 12, потрібно ще \(24 - 12 = 12\) років.

Перевірка: через 12 років мамі 48, доньці 24. \(48 = 2 \times 24\) ✓.

Спробуй

Батькові 40, синові 10. Через скільки років батько буде рівно втричі старший за сина?

Різниця віків: \(40 - 10 = 30\) (завжди!).
Через \(x\) років: батько \(40+x\), син \(10+x\).
\(40+x = 3(10+x)\) → \(40+x = 30+3x\) → \(10 = 2x\) → \(x = 5\).
Перевірка: батько 45, син 15. \(45 = 3 \times 15\) ✓.

· · ·

Зворотній хід

Коли відома кінцева відповідь, а потрібно знайти початкове число — йди у зворотному порядку і роби протилежні дії.

Задача CMS 2024 — Q1

Число → ×8 → −14 → ÷2 → +4 → отримали 9. Яке початкове число?

Йдемо назад з кінця:

\(9 \xrightarrow{-4} 5 \xrightarrow{\times 2} 10 \xrightarrow{+14} 24 \xrightarrow{\div 8} 3\).

Перевірка: \(3 \times 8 = 24\), \(24 - 14 = 10\), \(10 \div 2 = 5\), \(5 + 4 = 9\) ✓.

Протилежні дії

\(+\) ↔ \(-\), \(\times\) ↔ \(\div\). Починай з результату і працюй до початку.

Спробуй

Число → ×3 → +7 → ÷5 → отримали 4. Початкове число:

Назад: \(4 \xrightarrow{\times 5} 20 \xrightarrow{-7} 13 \xrightarrow{\div 3} \dfrac{13}{3}\).
Перевірка: \(\dfrac{13}{3} \times 3 = 13\), \(13 + 7 = 20\), \(20 \div 5 = 4\) ✓.

· · ·

Олімпіадна практика

Задача 1 · Легка

Визначимо \(a \# b = a \times b + a + b\). Значення \(3 \# 4\):

Задача 2 · Легка

Сім послідовних чисел. Сума трьох найменших = 33. Сума трьох найбільших:

Три найменші: \(n, n+1, n+2\). Сума = \(3n+3 = 33\) → \(n = 10\).
Числа: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
Три найбільші: \(14+15+16 = 45\).

Або швидше: кожне з трьох найбільших на 4 більше за відповідне з найменших → різниця = \(3 \times 4 = 12\). Відповідь: \(33+12=45\).
(Це CMS 2024 Q7!)

Задача 3 · Середня

Коробка з 30 шоколадками важить 1100 г. Якщо прибрати 12 шоколадок, важить 680 г. Вага порожньої коробки:

12 шоколадок важать: \(1100 - 680 = 420\) г.
Одна шоколадка: \(420 \div 12 = 35\) г.
30 шоколадок: \(35 \times 30 = 1050\) г.
Коробка: \(1100 - 1050 = 50\) г.
(Це CMS 2024 Q9!)

Задача 4 · Середня

П'ять різних цілих чисел від 1 до 30 мають суму 30. Найбільше можливе значення найбільшого числа:

Щоб найбільше було максимальним, решта повинні бути мінімальними:
\(1 + 2 + 3 + 4 + x = 30\) → \(x = 20\).
Перевірка: 1, 2, 3, 4, 20 — всі різні, від 1 до 30 ✓.
(Це CMS 2021 Q21!)

Задача 5 · Середня

Скільки рукостискань, якщо зустрілись 8 людей і кожен потиснув руку кожному?

Перша людина тисне руку 7 іншим, друга — 6 новим, третя — 5...
\(7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28\).

Або: \(\dfrac{8 \times 7}{2} = 28\).
(Це CMS 2021 Q25!)

Задача 6 · Середня+

Число → ×4 → −12 → ÷2 → +8 → отримали 18. Початкове число:

Назад: \(18 \xrightarrow{-8} 10 \xrightarrow{\times 2} 20 \xrightarrow{+12} 32 \xrightarrow{\div 4} 8\).

Перевірка: \(8 \times 4 = 32\), \(32 - 12 = 20\), \(20 \div 2 = 10\), \(10 + 8 = 18\) ✓.

✦

Шпаргалка — Олімпіадний мікс

Рух: \(S = v \times t\). Назустріч: \(v_1 + v_2\). Наздоганяння: \(v_1 - v_2\)
Нова операція: просто підстав числа за означенням
Система рівнянь: віднімай одне рівняння від іншого
Послідовності: шукай різниці, множники або формулу \(n\)-го елемента
Вік: різниця віків не змінюється з часом
Зворотній хід: від відповіді назад, протилежні дії
Рукостискання: \(\dfrac{n(n-1)}{2}\)
Максимум числа: мінімізуй решту