Геометрія та вимірювання

1

Кути трикутника

Головний факт

Сума кутів будь-якого трикутника = \(180°\)

Рівнобедрений трикутник

Дві сторони рівні → два кути при основі рівні.
Якщо кут між рівними сторонами = \(80°\), то кожен кут при основі = \(\dfrac{180° - 80°}{2} = 50°\).

Рівносторонній трикутник

Всі три сторони рівні → всі три кути = \(60°\).

Спробуй

В рівнобедреному трикутнику кут між рівними сторонами дорівнює \(40°\). Кожен кут при основі:

2

Площа та периметр

Периметр — сума всіх сторін. Площа — скільки квадратних одиниць вміщується всередині.

Формули

Прямокутник: \(P = 2(a+b)\), \(S = a \times b\)
Квадрат (сторона \(a\)): \(P = 4a\), \(S = a^2\)
Трикутник: \(S = \dfrac{a \times h}{2}\) (основа × висота ÷ 2)

Задача з тесту — Q10

Квадрат має площу \(64\;\text{см}^2\). Його периметр:

Сторона: \(a = \sqrt{64} = 8\) см.

Периметр: \(P = 4 \times 8 = 32\) см.

Спробуй

Прямокутник має сторони 7 см і 3 см. Його площа та периметр:

Спробуй

Квадрат має периметр 48 см. Його площа:

3

Коло: довжина і площа

Формули кола

Довжина кола: \(C = 2\pi r = \pi d\)
Площа круга: \(S = \pi r^2\)
Число \(\pi \approx 3{,}14\) (але на CMS залишають через \(\pi\))

На олімпіаді CMS

Відповіді майже завжди записані через \(\pi\), наприклад \(25\pi\) або \(5\pi + 10\). Не потрібно рахувати десяткові — працюй з \(\pi\) як зі звичайним символом.

Спробуй

Площа круга з радіусом 6 см:

4

Півколо

Півколо — це половина кола. Обережно з периметром: до половини довжини кола потрібно додати діаметр (пряму частину)!

Периметр півкола

\(P = \pi r + d = \pi r + 2r\)

Крива частина (\(\pi r\)) + пряма частина (діаметр \(d\))

Задача з тесту — Q11

Периметр півкола з діаметром 10 см:

Радіус \(r = 5\) см.

Крива: \(\pi \times 5 = 5\pi\).

Пряма: діаметр = 10.

Периметр: \(5\pi + 10\) см.

Типова помилка

Забути додати діаметр. Якщо написати лише \(5\pi\) — це тільки крива частина, а не весь периметр!

Спробуй

Периметр півкола з діаметром 14 см:

5

Складені фігури

Найчастіший тип на CMS: «доріжка навколо басейну» або «рамка навколо картини». Ключ — площа великої фігури мінус площа малої.

Площа доріжки

\(S_{\text{доріжки}} = S_{\text{великий}} - S_{\text{малий}}\)

\(= (a+2w)(b+2w) - a \times b\)

Задача з тесту — Q12

Басейн 20×12 м. Доріжка шириною 2 м навколо нього. Площа самої доріжки?

Зовнішній прямокутник: \((20+4) \times (12+4) = 24 \times 16 = 384\) м².

Басейн: \(20 \times 12 = 240\) м².

Доріжка: \(384 - 240 = 144\) м².

Спробуй

Картина 30×20 см обрамлена рамкою шириною 3 см. Площа самої рамки:

Зовнішній: \((30+6) \times (20+6) = 36 \times 26 = 936\) см².
Картина: \(30 \times 20 = 600\) см².
Рамка: \(936 - 600 = 336\) см².

6

Просторові фігури: куб

Куб — це «коробка», де всі сторони однакові.

Факти про куб

Грані: 6 (кожна — квадрат)
Ребра: 12
Вершини: 8
Об'єм: \(V = a^3\)
Площа поверхні: \(S = 6a^2\)

Задача з тесту — Q13

Куб пофарбований і розрізаний на 27 маленьких кубиків. Скільки мають рівно 2 пофарбовані грані?

Кубики з 2 пофарбованими гранями — це ті, що на ребрах (але не в кутах).
Куб має 12 ребер. На кожному ребрі 1 кубик посередині → \(12 \times 1 = 12\).

Спробуй

Куб пофарбований і розрізаний на 27 кубиків. Скільки маленьких кубиків мають рівно 3 пофарбовані грані?

Спробуй

Скільки маленьких кубиків мають рівно 1 пофарбовану грань?

7

Олімпіадна практика

Задача 1 · Легка

Кути трикутника відносяться як \(1 : 2 : 3\). Найбільший кут дорівнює:

Нехай кути = \(x, 2x, 3x\). Сума: \(x + 2x + 3x = 6x = 180°\).
\(x = 30°\). Найбільший: \(3 \times 30° = 90°\).

Задача 2 · Легка

Довжина кола з радіусом 7 см дорівнює:

Задача 3 · Середня

Прямокутний басейн 15×10 м оточений доріжкою шириною 3 м. Площа доріжки:

Зовнішній: \((15+6) \times (10+6) = 21 \times 16 = 336\) м².
Басейн: \(15 \times 10 = 150\) м².
Доріжка: \(336 - 150 = 186\) м².

Задача 4 · Середня

Куб має об'єм 125 см³. Площа його поверхні:

\(V = a^3 = 125\) → \(a = 5\) см.
\(S = 6a^2 = 6 \times 25 = 150\) см².

Задача 5 · Середня

Два кола мають радіуси 3 см і 7 см. Різниця їхніх площ:

\(\pi \times 7^2 - \pi \times 3^2 = 49\pi - 9\pi = 40\pi\) см².

Задача 6 · Середня+

В трикутнику кут B вдвічі більший за кут A, а кут C втричі більший за кут A. Кут A дорівнює:

\(A + 2A + 3A = 6A = 180°\) → \(A = 30°\).
(Це CMS 2025 Q1!)

Задача 7 · Середня+

Скільки дільників, більших за 2, має число 36?

Дільники 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (всього 9).
Більші за 2: 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 = 7 дільників.
(Це CMS 2025 Q8!)

Шпаргалка — Геометрія

Сума кутів трикутника: \(180°\)
Рівнобедрений: кут при основі = \(\dfrac{180° - \alpha}{2}\)
Прямокутник: \(P = 2(a+b)\), \(S = ab\)
Квадрат: \(P = 4a\), \(S = a^2\)
Трикутник: \(S = \dfrac{ah}{2}\)
Коло: \(C = 2\pi r\), \(S = \pi r^2\)
Півколо периметр: \(\pi r + 2r\)
Доріжка: \(S_{\text{зовн}} - S_{\text{внутр}}\)
Куб: 6 граней, 12 ребер, 8 вершин, \(V=a^3\), \(S=6a^2\)