⚡
CMS Math Olympiad · 6th Grade

Exponents and Powers

From repeated multiplication to elegant shortcuts. Powers grow very quickly — let’s learn how to tame them.

1
What is a power?

When you multiply the same number by itself many times, writing it out becomes long:

\(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \;?\)

Instead we write \(2^5\) and read it as “two to the fifth power.”

Definition
\(a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ разів}}\)
\(a\) — основа. \(n\) — показник степеня.
How to read it

\(3^4\) = «три в четвертому степені» = \(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)

\(5^2\) = «п'ять у квадраті» = \(5 \times 5 = 25\)

\(7^1\) = просто \(7\). Будь-яке число в першому степені — це саме число.

Special cases
\(a^0 = 1\) для будь-якого \(a \neq 0\). Так, навіть \(100^0 = 1\).
\(a^1 = a\) завжди. Перший степінь нічого не змінює.
Try it
What is \(2^5\)?
· · ·
2
Powers of small numbers

Для олімпіадних задач ці значення потрібно знати напам'ять.

n\(2^n\)\(3^n\)\(5^n\)\(10^n\)
123510
24925100
38271251 000
4168162510 000
5322433 125100 000
664729——
7128———
8256———
9512———
101 024———
Powers of two are everywhere
Запам'ятай \(2^1\) до \(2^{10}\). Багато задач CMS запитують: «Яке найis larger \(n\), що \(2^n < \text{щось}\)?» Знаєш таблицю — відповідаєш миттєво.
A test problem you missed
«The greatest integer \(n\), що \(2^n < 100\)»

\(2^6 = 64 < 100\) ✓ але \(2^7 = 128 > 100\) ✗
Відповідь — \(n = 6\).

Трюк: не рахуй — скануй таблицю, поки не перевищиш число.
Try it
The greatest integer \(n\), що \(3^n < 100\)?
Try it
The greatest integer \(n\), що \(2^n < 500\)?

Квадрати чисел — теж корисні степені:

\(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225\)

These are \(1^2, 2^2, 3^2, \dots, 15^2\).

· · ·
3
Rules for working with powers

These rules let us simplify expressions without calculating enormous numbers.

Правило 1 — Множення
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
Додаємо показники. \(2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128\)
Why this works

\(2^3 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7\)

3 двійки + 4 двійки = 7 двійок.

Правило 2 — Ділення
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
Віднімаємо показники. \(\dfrac{3^5}{3^2} = 3^3 = 27\)
Правило 3 — Степінь степеня
\((a^m)^n = a^{m \times n}\)
Множимо показники. \((2^3)^4 = 2^{12} = 4096\)
Правило 4 — Степінь добутку
\((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
\((2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000\)
Typical mistake
\((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\). Степінь НЕ розкладається через додавання!
\((3+4)^2 = 49\), але \(3^2 + 4^2 = 25\). These are різні речі!
Try it
Simplify: \(2^3 \times 2^5\)
Try it
What is \((5^2)^3\)?
Try it
Simplify: \(\dfrac{4^5}{4^3}\)
· · ·
4
Comparing powers

CMS problems often ask you to compare powers. Here are three main strategies:

Strategy 1 — Same base
Більший показник → is larger число (коли основа > 1).
\(3^5 > 3^4\), бо \(5 > 4\).
Strategy 2 — Same exponent
Більша основа → is larger число.
\(5^3 = 125 > 64 = 4^3\).
Strategy 3 — Rewrite with one base
Порівняти \(4^{10}\) і \(8^6\):
\(4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}\), а \(8^6 = (2^3)^6 = 2^{18}\).
\(20 > 18\), отже \(4^{10} > 8^6\). ✓
Try it
Which is larger: \(2^{12}\) чи \(4^5\)?
\(4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} = 1024\)
\(2^{12} = 4096\)
\(2^{12} > 2^{10}\), отже \(2^{12}\) is larger.
Try it
The greatest integer \(x\), що \(3^{20} > 9^x\):
\(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\)
Потрібно \(20 > 2x\), тобто \(x < 10\).
The greatest integer — 9.
· · ·
5
CMS-style practice

These tasks match the style of real olympiad problems on powers.

Задача 1 · Легка
Значення \(2^3 + 2^3\) equals:
\(2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4\).
Увага: \(2^3 + 2^3 \neq 2^6\)!
Але \(2^3 + 2^3 = 2 \times 2^3 = 2^4\) — поширений трюк.
Задача 2 · Легка
If \(2^n = 64\), то \(n =\)
Задача 3 · Amongня
Значення \(\dfrac{4^{2024} \times 3^{2025}}{6^{2025} \times 2^{2024}}\) equals:
\(4^{2024} = 2^{4048}\), \(6^{2025} = 2^{2025} \times 3^{2025}\)
Трійки скорочуються: \(\dfrac{2^{4048}}{2^{2025+2024}} = \dfrac{2^{4048}}{2^{4049}} = \dfrac{1}{2}\)
Задача 4 · Amongня
If \(8^x = 2^{15}\), то \(x =\)
\(8^x = (2^3)^x = 2^{3x} = 2^{15}\)
\(3x = 15 \Rightarrow x = 5\)
Задача 5 · Amongня
The number of digits in \(2^{10} \times 5^{10}\):
\((2 \times 5)^{10} = 10^{10} = 10\,000\,000\,000\) — 11 цифр.
Задача 6 · Amongня+
Among \(2^{30}\), \(3^{20}\) і \(5^{13}\) the greatest is:
\(2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}\)
\(3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}\)
\(9 > 8\), тому \(9^{10} > 8^{10}\), отже \(3^{20}\) найis larger.
✦
Шпаргалка — Степені
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\) — однакова основа → додай показники
\(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) — однакова основа → віднімай показники
\((a^m)^n = a^{mn}\) — степінь степеня → множ показники
\((ab)^n = a^n b^n\) — розкладай через множення
\(a^0 = 1\) — будь-що в нульовому степені = 1
\(2^{10} = 1024 \approx 10^3\) — для оцінок
Для порівняння: зведи до однієї основи

CMS Math Olympiad · 6th Grade · Exponents and Powers

Home · All tutorials · Українська