Percentages and Proportions — CMS Math Olympiad

1

What is a percentage?

Definition

\(1\% = \dfrac{1}{100}\)

«Відсоток» буквально означає «на сто». 25% = 25 зі 100 = одна чверть.

Useful percentages to remember

\(50\% = \dfrac{1}{2}\)\(25\% = \dfrac{1}{4}\) \(20\% = \dfrac{1}{5}\)\(10\% = \dfrac{1}{10}\) \(75\% = \dfrac{3}{4}\)\(33\tfrac{1}{3}\% = \dfrac{1}{3}\)

Try it

\(40\%\) від 250 equals:

2

Three types of problems

Майже кожна задача на відсотки — це один із трьох типів:

Type 1 — Find the part

How many це — 30% від 200?

\(200 \times 0{,}30 = 60\). Або: \(\dfrac{30}{100} \times 200 = 60\).

Type 2 — Find the whole

20% учнів — це 50 осіб. How many всього учнів?

Якщо \(20\% = 50\), то \(1\% = \dfrac{50}{20} = 2{,}5\). Отже \(100\% = 250\).

Type 3 — Find the percentage

З 80 учнів 20 — відмінники. Який відсоток відмінників?

\(\dfrac{20}{80} = 0{,}25 = 25\%\).

CMS problem 2025 — Q2

20% учнів НЕ користуються TokTik. Ті, хто користується — 200 осіб. How many НЕ користується?

200 = 80% (бо 100% − 20% = 80%).
\(1\% = \dfrac{200}{80} = 2{,}5\). Отже \(20\% = 50\).

Try it

15% вартості книги — це 12 UAH. The full price of the book is:

Try it

In a class 40 учнів, 14 отримали «відмінно». The percentage of top students is:

3

Increase and decrease

Main rule

Збільшити на \(p\%\): помножити на \(\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\)
Зменшити на \(p\%\): помножити на \(\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)\)

Example — discount

Ціна товару 800 UAH. Знижка 25%. New ціна?

\(800 \times (1 - 0{,}25) = 800 \times 0{,}75 = 600\) UAH.

Або: знижка = \(800 \times 0{,}25 = 200\). New ціна = \(800 - 200 = 600\).

Typical trap

Збільшити на 20%, а потім зменшити на 20% — це НЕ повернення до початку!

Було 100. Збільшили на 20%: \(100 \times 1{,}2 = 120\).
Зменшили на 20%: \(120 \times 0{,}8 = 96\). Це на 4% менше за початкове!

Try it

A price increased by 50% and then decreased by 50%. Compared with the starting price, the result is:

Нехай початкова = 100.
+50%: \(100 \times 1{,}5 = 150\).
−50%: \(150 \times 0{,}5 = 75\).
\(75\) замість \(100\) → на 25% менше.

4

Change of area

Це улюблена тема CMS! Якщо змінюються сторони фігури на відсотки, площа змінюється по-іншому.

Ключовий факт

Якщо кожну сторону збільшити на \(p\%\), площа зростає не на \(p\%\), а на more!

New площа = \((1 + \dfrac{p}{100})^2 \times S\)

Test problem — Q23

Сторони прямокутника збільшили на 10%. By what percentage did the area increase?

Множник для кожної сторони: \(1{,}1\).

New площа: \(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\) від початкової.

Зmoreння: \(1{,}21 - 1 = 0{,}21 = \mathbf{21\%}\).

Quick calculation formula

Якщо обидві сторони збільшуються на \(p\%\):
Area зростає приблизно на \(2p + \dfrac{p^2}{100}\) відсотків.

Для \(p = 10\%\): \(2 \times 10 + \dfrac{100}{100} = 20 + 1 = 21\%\). Точно!

Try it

The sides of a square were increased by 20%. The area increased by:

\(1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44\). Зmoreння: \(44\%\).
Або: \(2 \times 20 + \dfrac{400}{100} = 40 + 4 = 44\%\).

Try it

One side of a rectangle was increased by 50%, the other decreased by 50%. The area:

\(1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75\). Area стала 75% від початкової → зменшилась на 25%.

5

Proportions and ratios

Пропорція — це рівність двох дробів: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\).

Співвідношення \(a : b\) означає, що на кожні \(a\) частин одного є \(b\) частин іншого.

Example — divide in a ratio

180 цукерок розділили між Аліною та Богданом у співвідношенні 2 : 3. How many дістав Богдан?

Всього частин: \(2 + 3 = 5\).

Одна частина: \(180 \div 5 = 36\).

Богдан (3 частини): \(36 \times 3 = 108\).

CMS problem 2024 — Q5

Книга має розділи Арифметика і Геометрія. Геометрія = \(\dfrac{1}{3}\) від Арифметики. Яку частину книги займає Арифметика?

Нехай Арифметика = 3 частини, Геометрія = 1 частина.
Всього = 4 частини. Арифметика = \(\dfrac{3}{4}\) книги.

Try it

240 UAH розділили у співвідношенні 3 : 5. The larger part is:

Try it

In a class хлопці і girlsа у співвідношенні 3 : 2. Всього 35 учнів. How many girls?

6

Olympiad practice

Задача 1 · Легка

В класі 25% учнів носять окуляри. Якщо учнів 32, how many wear glasses?

Задача 2 · Легка

Товар коштував 400 UAH. Ціну знизили на 15%. The new price is:

Задача 3 · Середня

Після підвищення ціни на 25% товар коштує 500 UAH. The original price is:

500 = 125% від початкової.
\(1\% = \dfrac{500}{125} = 4\). Отже \(100\% = 400\) UAH.

Задача 4 · Середня

Сторону квадрата збільшили на 30%. By what percentage did the area increase?

\(1{,}3 \times 1{,}3 = 1{,}69\). Area збільшилась на \(69\%\).
Або: \(2 \times 30 + \dfrac{900}{100} = 60 + 9 = 69\%\).

Задача 5 · Середня

Суміш складається з води і соку у співвідношенні 7 : 3. How much juice is in 500 ml of the mixture?

Всього частин: \(7 + 3 = 10\).
Одна частина: \(500 \div 10 = 50\) ml.
Сік (3 частини): \(50 \times 3 = 150\) ml.

Задача 6 · Середня+

Ціну двічі підвищили на 10%. The total increase is:

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\). Загальне підвищення = 21%.
Два рази по 10% ≠ 20%! Другий раз 10% рахується від більшого числа.

Шпаргалка — Percentages and Proportions

Знайти частину: число \(\times \dfrac{p}{100}\)
Знайти ціле: частина \(\div \dfrac{p}{100}\)
Знайти відсоток: \(\dfrac{\text{частина}}{\text{ціле}} \times 100\%\)
Збільшити на \(p\%\): \(\times (1 + \dfrac{p}{100})\)
Зменшити на \(p\%\): \(\times (1 - \dfrac{p}{100})\)
Area при зміні сторін на \(p\%\): площа змінюється на \(\approx 2p + \dfrac{p^2}{100}\)%
Пропорція \(a : b\): одна частина = ціле \(\div (a+b)\)
Пастка: +20% потім −20% ≠ початкове!