Probability — CMS Math Olympiad

1

What is probability?

Probability — це число від 0 до 1, яке показує, наскільки ймовірно щось станеться.

Formula

\(P = \dfrac{\text{кількість сприятливих результатів}}{\text{загальна кількість результатів}}\)

Що означають крайні значення

\(P = 0\) — подія неможлива (випаде число 7 на звичайному кубику).
\(P = 1\) — подія обов'язково станеться (випаде число від 1 до 6).
\(P = \dfrac{1}{2}\) — однаково ймовірно, що станеться або ні.

Example — coin toss

Підкидаємо монету. Яка probability випадання «герба»?

Всього результатів: 2 (герб або решка).

Сприятливих: 1 (герб).

\(P = \dfrac{1}{2}\).

Try it

A bag contains 3 red and 7 blue balls. The probability of drawing a red ball is:

2

Rolling a die

Звичайний кубик має 6 граней з числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кожне число випадає з однаковою ймовірністю.

Typical questions

Probability випадання парного числа: числа 2, 4, 6 → \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).

Probability випадання числа > 4: числа 5, 6 → \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).

Probability випадання простого числа: числа 2, 3, 5 → \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).

Try it

We roll a die. The probability that the result is divisible by 3 is:

3

Balls in a bag

Це найпопулярніший тип задач на CMS. Зазвичай є мішок з кульками різних кольорів — потрібно знайти probability витягти кульку потрібного кольору.

Example

В мішку 3 червоні і 5 синіх кульок. Витягаємо одну навмання.

Probability червоної: \(\dfrac{3}{3+5} = \dfrac{3}{8}\).

Probability синьої: \(\dfrac{5}{8}\).

Careful: without replacement

Якщо витягнули кульку і не повернули назад, загальна кількість зменшується!

Було 3 червоні + 5 синіх = 8. Витягли одну червону → залишилось 2 червоні + 5 синіх = 7.
Probability другої червоної: \(\dfrac{2}{7}\), а не \(\dfrac{2}{8}\)!

Try it

A bag contains 4 green, 3 yellow, and 5 white balls. The probability of drawing a yellow ball is:

Try it

A bag contains 6 red and 4 white balls. One red ball is drawn and not replaced. The probability that the second one is also red is:

4

Probability of “NOT”

Протилежна подія

\(P(\text{НЕ } A) = 1 - P(A)\)

Probability того, що подія НЕ відбудеться = 1 мінус probability, що відбудеться.

Це дуже потужний трюк! Інколи простіше порахувати те, що ми не хочемо, і відняти від 1.

Example

Кидаємо кубик. Яка probability, що випаде НЕ шістка?

\(P(\text{шістка}) = \dfrac{1}{6}\).

\(P(\text{не шістка}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\).

Try it

A bag contains 2 red and 8 blue balls. The probability of drawing NOT a red ball is:

5

Two events: “AND” and “OR”

“AND” — both together

Кидаємо монету двічі. Яка probability, що обидва рази випаде герб?

Перший кидок: \(P = \dfrac{1}{2}\). Другий: \(P = \dfrac{1}{2}\).
Разом: \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\).

Правило: якщо події незалежні, множимо їхні ймовірності.

“OR” — at least one

Кидаємо кубик. Probability, що випаде 2 або 5?

Це два різні результати, які не перетинаються:
\(P = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).

Правило: якщо події не можуть відбутись одночасно, додаємо ймовірності.

How to remember it

«І» → множимо (потрібно, щоб обидва спрацювали — це рідше).
«АБО» → додаємо (достатньо хоча б одного — це частіше).

Try it

We roll two dice. The probability that both show six is:

Try it

We roll a die. The probability of getting 1, 3, or 5 (an odd number) is:

6

Olympiad practice

Задача 1 · Легка

A box contains 5 red, 3 green, and 2 yellow pencils. One is chosen at random. The probability it is green is:

Задача 2 · Легка

A number from 1 to 20 is chosen at random. The probability that it is even is:

Задача 3 · Середня

We roll two dice and add the results. The probability that the sum is 7 is:

Всього результатів при двох кубиках: \(6 \times 6 = 36\).

Пари, що дають суму 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 пар.

\(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).

Задача 4 · Середня

A number from 1 to 30 is chosen at random. The probability that it is divisible by 5 is:

Числа від 1 до 30, що діляться на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30 → 6 чисел.
\(P = \dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}\).

(Take note: варіанти A і C — це одне й те саме число! \(\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}\), а не \(\dfrac{1}{5}\). На CMS завжди перевіряй скорочення.)

Задача 5 · Середня

A bag contains 4 white and 6 black balls. Two are drawn at random without replacement. The probability that both are black is:

Перша чорна: \(\dfrac{6}{10}\).
Після цього залишилось 5 чорних з 9 → друга чорна: \(\dfrac{5}{9}\).

Обидві: \(\dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{90} = \dfrac{1}{3}\).

Задача 6 · Середня+

Three numbers are chosen at random from the set \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). How many ways are there to choose three numbers with an even sum?

Парні: {2, 4, 6}. Непарні: {1, 3, 5}.

Сума парна, якщо: всі три парні, або одне парне + два непарних.

Всі три парні: \(\binom{3}{3} = 1\) спосіб.
Одне парне + два непарних: \(\binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 3 \times 3 = 9\) способів.

Всього: \(1 + 9 = 10\).

(Це задача CMS 2021 Q24!)

Шпаргалка — Probability

Базова формула: \(P = \dfrac{\text{сприятливі}}{\text{всього}}\)
Протилежна подія: \(P(\text{НЕ }A) = 1 - P(A)\)
«І» (обидві): множимо ймовірності
«АБО» (хоча б одна): додаємо ймовірності
Без повернення: після витягування зменшуй і чисельник, і знаменник
Кубик: 6 результатів, кожен з ймовірністю \(\dfrac{1}{6}\)
Два кубики: 36 результатів